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Nato a Firenze nel 1622, morì nel 1703. Studiò matematica sotto la guida del galileiano Clemente Settimi. A partire dai primi mesi del 1639, su raccomandazione del Granduca Ferdinando II, andò a vivere presso la villa di Arcetri con Galileo, di cui fu uno dei discepoli più fedeli ed amati. Raccolse l'eredità di manoscritti, documenti e lettere del grande scienziato pisano, cercando in seguito di conservarne la memoria e di diffonderne l'insegnamento. Non riuscì invece, per la pervicace opposizione del Santo Uffizio, a trasferire le spoglie mortali di Galileo nella navata della basilica di S. Croce in un mausoleo adeguato alla sua fama. Evento che si potè realizzare soltanto nella notte del 12 marzo 1737, sotto il governo di Gian Gastone, l'ultimo Granduca di casa Medici.
Membro fondatore dell'Accademia del Cimento, Viviani ricevette da Ferdinando II e Cosimo III diversi incarichi pubblici. Pubblicò numerose opere matematiche, tutte di derivazione galileana. Nel 1654 diede alle stampe un biografia di Galileo - il famoso Racconto istorico della vita del Sig. Galileo Galilei -, curando nel 1656 anche l'edizione bolognese delle Opere del maestro, priva ovviamente del Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo.
Nel 1692 Viviani fu protagonista di una violenta polemica con Gottfried Wilhelm Leibniz, che aveva avuto modo di conoscere nel corso di un soggiorno che il grande filosofo e matematico tedesco aveva fatto a Firenze nel corso del 1689. Tutto era nato quando il matematico toscano aveva proposto, nascosto da uno pseudonimo, un Aenigma geometricum, intorno al quale si scontravano la concezione galileiana tradizionale e la nuova prospettiva analitica della geometria. Leibniz rispose con una Solutio, diffusa in breve tempo per tutta l'Europa, che dimostrava che il calcolo infinitesimale era la nuova prospettiva della ricerca matematica. Viviani era invece rimasto legato alla tradizione euclidea che puntava ad una soluzione geometrica dei problemi matematici, e giudicava i metodi algebrici leibniziani niente di più che "divertimenti infantili".
Dalla parte di Leibniz si era subito schierato, ma più che altro per astio nei confronti dell'avversario, il famoso bibliotecario granducale Antonio Magliabechi, il quale confessava al filosofo tedesco che a Firenze non c'era "uomo più maligno di quel geometra", cioè Viviani, che faceva "ogni cosa con cabala, e con volponeria". Pur non avendo nemmeno lui competenze in materia, Redi aveva invece preso le difese di Viviani, tant'è vero che Leibniz scrisse in una lettera che in Toscana esisteva un vero e proprio "triumvirato", costituito oltre che dal naturalista aretino, da Viviani e da Anton Maria Salvini, che controllava ogni aspetto della vita culturale ed accademica.
Leibniz aveva visto giusto. Pur richiamandosi in modi e forme differenti all'eredità galileiana, Viviani e Redi erano riusciti ad imporre, in perfetto accordo, una sostanziale egemonia sulla cultura toscana della seconda metà del Seicento. Questa situazione si era delineata chiaramente a partire dal 1676, data della partenza di Borelli da Pisa, ed era già stata denunciata nel 1678 come una forma di odiosa tirannia in una lettera di Lorenzo Bellini a Malpighi. Per carattere e per le delicate funzioni pubbliche che rivestiva, Redi cercò comunque di evitare in ogni modo conflitti e lacerazioni pubbliche tra gli intellettuali toscani, adoperandosi ad esempio per mettere pace tra lo stesso Viviani ed Alessandro Marchetti, che si disputavano la priorità dei rispettivi studi sulla resistenza dei solidi. In una delle tante lettere dedicate all'argomento, aveva rivolto all'amico questo accorato appello di fraternità cristiana: "Dimenticanza di tutto il passato, ma vera dimenticanza, e dimenticanza non per rispetti uma
ni, ma per amore di Dio, per solo amore di Dio".
Nel corso del 1664 Viviani aveva partecipato attivamente, insieme a Redi, Borelli, Oliva, Rinaldini e Magalotti, alle ricerche che si erano svolte all'interno dell'Accademia del Cimento sul controverso problema della generazione degli insetti delle galle. Dalla discussione collettiva era emersa, direttamente sotto gli occhi del Granduca Ferdinando II e del Principe Leopoldo, una clamorosa diversità di vedute tra gli accademici.
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